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Le chapitre « Fonctions : fonctions de référence, équations, inéquations » du programme de mathématiques de seconde générale et technologique traite de divers concepts fondamentaux liés aux fonctions. L'objectif est de comprendre comment représenter graphiquement une fonction, ainsi que d'étudier certaines fonctions de référence et résoudre des équations et inéquations graphiquement.
La courbe représentative d'une fonction est la représentation graphique de la fonction. Dans un repère cartésien, l'axe des abscisses représente les valeurs d'entrée (ou x) tandis que l'axe des ordonnées représente les valeurs de sortie (ou y). La courbe relie les points (x, f(x)) où f(x) est la valeur de la fonction pour un certain x. Les notions clés associées à une fonction sont l'image (la valeur y correspondante à un x donné), l'antécédent (la valeur x qui correspond à une valeur y donnée), l'ensemble de définition (l'ensemble des valeurs x pour lesquelles la fonction est définie), les fonctions paires (f(-x) = f(x)) et impaires (f(-x) = -f(x)).
La fonction carrée est une fonction de la forme f(x) = x^2, où le carré de l'entrée x donne la valeur de sortie. La fonction inverse est une fonction de la forme f(x) = 1/x, où la sortie est l'inverse de l'entrée (à l'exception de x = 0 où la fonction n'est pas définie). La fonction cube est une fonction de la forme f(x) = x^3, où le cube de l'entrée x donne la valeur de sortie. La racine carrée est l'opération inverse de l'élévation au carré, et la fonction racine carrée f(x) = √x est définie pour x ≥ 0.
La résolution graphique d'une équation consiste à trouver graphiquement les points d'intersection entre la courbe représentative d'une fonction et la droite correspondant à une équation donnée. Les solutions de l'équation sont alors les valeurs x de ces points d'intersection.
La résolution graphique d'une inéquation consiste à trouver graphiquement les intervalles sur l'axe des abscisses pour lesquels la courbe représentative d'une fonction est située au-dessus (ou en dessous) de la droite correspondant à l'inéquation donnée.
Le signe d'une fonction affine de la forme f(x) = ax + b est déterminé par le coefficient a. Si a > 0, la fonction est positive et croissante. Si a < 0, la fonction est négative et décroissante. La valeur de b influence simplement la position de la droite sur le graphique.
Les tableaux de signe sont utilisés pour étudier le signe des fonctions sur des intervalles. Dans un tableau de signe, on indique les intervalles où la fonction est positive, négative ou nulle en se basant sur les variations du signe du coefficient a dans la fonction affine.
En résumé, ce chapitre permet aux élèves de se familiariser avec la représentation graphique des fonctions, d'identifier les propriétés spécifiques des fonctions de référence, de résoudre des équations et des inéquations graphiquement, d'étudier le signe d'une fonction affine et d'utiliser les tableaux de signe pour analyser le comportement des fonctions. Ces notions sont essentielles pour approfondir les compétences en mathématiques au niveau de la seconde générale et technologique.