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Le chapitre "Équation cartésienne d'une droite" du programme de mathématiques de seconde générale et technologique traite de divers concepts liés aux droites dans le plan cartésien.
1. Notion de vecteur directeur d'une droite : Le vecteur directeur est un concept clé pour représenter une droite dans le plan cartésien. Pour une droite D, tout vecteur non nul parallèle à D est appelé vecteur directeur de D. Deux droites parallèles ont le même vecteur directeur ou des vecteurs directeurs proportionnels.
2. Notion d'équation cartésienne d'une droite : L'équation cartésienne d'une droite est une expression qui relie les coordonnées des points appartenant à la droite. Elle est généralement de la forme ax + by + c = 0, où a, b et c sont des constantes. Chaque triplet (a, b, c) représente une droite unique.
3. Notion d'équation réduite d'une droite : L'équation réduite est une forme simplifiée de l'équation cartésienne, où l'un des coefficients (a ou b) est égal à 1 ou -1. Elle prend la forme y = mx + p (si b ≠ 0) ou x = k (si a ≠ 0), où m est le coefficient directeur de la droite et p, k sont des constantes.
4. Notion de coefficient directeur d'une droite : Le coefficient directeur est un nombre qui représente la pente de la droite. Pour une droite non verticale, il est défini comme le rapport du changement vertical (Δy) au changement horizontal (Δx) entre deux points de la droite. Le coefficient directeur m est utilisé dans l'équation réduite y = mx + p.
5. Position relative de deux droites : L'étude de la position relative de deux droites concerne principalement leur intersection ou leur parallélisme. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même vecteur directeur ou si leurs coefficients directeurs sont égaux. Elles sont sécantes si leurs équations ont une solution commune (un point d'intersection).
6. Notion de système d'équations linéaires à deux équations : Lorsqu'on a deux droites dans le plan cartésien, on peut former un système d'équations linéaires en écrivant leurs équations respectives. La solution du système correspond au point d'intersection des droites, s'il existe. Si les droites sont parallèles, le système n'a pas de solution.
En conclusion, le chapitre "Équation cartésienne d'une droite" en mathématiques de seconde aborde la représentation et l'analyse des droites dans le plan cartésien en utilisant les concepts de vecteur directeur, équation cartésienne, équation réduite, coefficient directeur, position relative de droites et système d'équations linéaires. Ces notions sont fondamentales pour comprendre les propriétés géométriques et algébriques des droites dans l'espace bidimensionnel.